4장_2

군, 환, 체 (Groups, Rings, Fields)

군 ( Groups )

• 군 G 는 {G, •} 로 정의 내림

• 군의 성질

    닫힘: 만약 a 와 b가 군 G 에 속할경우 a • b 도 군 G에 속한다
    결합: G의 모든 a, b, c에 대해 a • (b • c) = (a • b) • c
    항등원소: G의 모든 a 에 대해 a • e = e • a = a 가 존재
    역원: G 의 모든 a 에 대해 a • a' = a' a = e와 같은 a' 가 존재
    교환: a • b = b • a 가 성립
  

• 순환군 ( Cyclic Groups )

  • G 의 모든 원소가 G의 임의의 원소의 멱승연산 a ^ k 의 형태로 표현이 가능한 경우 G는 순환군
  • 이때, 원소 a 를 G 의 generator 라고 한다

환( Rings )

• 2개 이상의 이항연산을 가지는 원소의 집합

• 환 의 성질

    군의 성질을 모두 만족
    승법에 닫힘: a, b가 R 에 존재하면 a x b 또한 존재
    분배, 결합, 교환 법칙 ( 교환법칙은 필수적 x )
  

체 ( Fields )

• Internal domain 의 성질을 포함
  • R 의 모든 a 에 대해 a x 1 = 1 x a = a 가 성립하는 원소가 존재
  • 0으로 나눌 수 없다
  • F 가 internal domain 일 경우 G 와 R의 명제를 만족
  • 곱셈 역원: 체 F 에서 0을 제외한 각 a 에 대해 다음을 만족하는 a^-1 존재
    • aa^-1 = (a^-1)a = 1
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**위수 p 인 유한체

• 유한체의 위수 ( 체의 원소의 개수) 는 소인수의 멱승인 p^n 이어야 함
• GF 는 갈로아 필드 라고 함
• GF(p^n ) 으로 표기
• 주로 GF(p), GF(2^n) 의 유한체 사용
• 소수 p 에 대해 위수가 p인 유한체 GF(p) 는 정수 {0,1,…,p-1} 의 집합 Zp 로 정의
• Zp 상의 0 이 아닌 모든 정수들에 대해 곱 역원이 존재
• 

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**산술 다항식

• 하나의 미지수 x 를 갖는 다항식들이 존재할 때, 산술 다항식은 세가지로 구분

  • 대수의 기본 규칙을 따르는 일반적인 다항식
  • GF(p) 유한체 내의 원소들을 다항식의 계수로 사용하고, 각 계수들은 모듈러 p 연산으로 수행되는 다항식
  • GF(p) 유한체 내의 원소들을 다항식의 계수로 사용하고 최고 차항이 n 인 다항식 m(x)의 모듈러 연산으로 수행되는 산술 다항식
  • 

• 일반 산술 다항식 연산

  • 

• GF(2) 에서의 연산

  • 

• GF(2^n) 상에서의 유한체

  • Zp 상에서 n - 1 차 또는 미만의 차수를 가지는 모든 다항식 집합 S에서 각각의 다항식은 다음과 같은 형식을 갖게 된다
  • 
  • 이때 각각의 ai 는 집합 (0,1,…, p-1) 의 원소들중 하나를 사용하며 총 p^n개의 서로 다른 다항식을 만들 수 있음
  • 산술 연산들에 대한 정의
    • 계수들 간의 산술 연산은 모듈러 p로 수행되며, 유한체 Zp 상의 상술 규칙을 이용함
    • 만약 곱셈 연산 후, n - 1 보다 큰 차수의 다항식 결과가 나오면 다항식 결과를 n차 다항식 m(x) 로 나눔
    • 즉 f(x) 에서 나머지는 r(x) = f(x) mod m(x) 가 된다
      

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x^-1 의 개념
mod 13 이라면 x 와 무엇을 곱한 뒤 mod 13 을 했을 때 1이 나오는지를 계산